Cómo Graficar Secciones Cónicas en Forma Paramétrica

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Por Yang Kuang, Elleyne Kase

A veces su profesor de pre-cálculo puede pedirle que grafique las cónicas en forma paramétrica. La forma paramétrica es una forma elegante de decir una forma en la que puedes tratar con cónicas que no se expresan fácilmente como el gráfico de una función y = f(x). Las ecuaciones paramétricas se utilizan normalmente para describir el movimiento o la velocidad de un objeto con respecto al tiempo. El uso de ecuaciones paramétricas permite evaluar tanto x como y como variables dependientes, en lugar de que x sea independiente e y dependa de x.

La forma paramétrica define tanto las variables x como las y de las secciones cónicas en términos de una tercera variable arbitraria, llamada parámetro, que normalmente se representa con t. Puedes encontrar valores tanto para x como para y conectando valores de t en las ecuaciones paramétricas. A medida que cambian los valores de t, también cambian los valores de x e y, lo que significa que y ya no depende de x sino de t.

¿Por qué cambiar a este formulario? Considere, por ejemplo, un objeto que se mueve en un plano durante un intervalo de tiempo específico. Si un problema le pide que describa la ruta del objeto y su ubicación en un momento determinado, necesita tres variables:

  • Tiempo t, que suele ser el parámetro
  • Las coordenadas (x, y) del objeto en el momento t

La xtequation da el movimiento horizontal de un objeto a medida que t cambia; la ytequation da el movimiento vertical de un objeto en el tiempo.

Por ejemplo, un conjunto de ecuaciones define tanto x como y para el mismo parámetro – t – y define el parámetro en un intervalo determinado:

El tiempo t existe sólo entre 1 y 5 segundos para este problema.

Si se te pide que grafiques esta ecuación, puedes hacerlo de una de dos maneras. El primer método es el plug and chug: Configure un gráfico y escoja valores t del intervalo dado para averiguar qué deben ser x e y, y luego, grafique estos puntos como si fueran normales. La siguiente tabla muestra los resultados de este proceso. Nota:t = 1 está incluido en el gráfico, aunque el parámetro no esté definido allí. Necesitas ver lo que habría sido, porque graficas el punto donde t = 1 con un círculo abierto para mostrar lo que pasa con la función arbitrariamente cerca de 1. Asegúrate de hacer de ese punto un círculo abierto en tu gráfica.

La otra manera de graficar una curva paramétrica es resolver una ecuación para el parámetro y luego sustituir esa ecuación por la otra ecuación. Deberías elegir la ecuación más simple para resolver y empezar por ahí.

Siguiendo con el mismo ejemplo, resolver la ecuación lineal x = 2t – 1 para t:

  1. Sustituya los puntos finales del intervalo t por la función x para saber dónde empieza y termina el gráfico. Cuando t = 1, x = 1, y cuando t = 5, x = 9.
  2. Resuelve la ecuación más simple. Para la ecuación elegida, obtienes
  3. Enchufa la ecuación resuelta en la otra ecuación.
  4. Simplifique esta ecuación si es necesario. ahora tiene porque este paso le da una ecuación en términos de x e y, puede graficar los puntos en el plano de coordenadas. El único problema es que no se dibuja el gráfico completo, porque hay que mirar un intervalo específico de t.Graphing una curva paramétrica.

Esta figura muestra la curva paramétrica de este ejemplo (para ambos métodos). Terminas con una parábola, pero también puedes escribir ecuaciones paramétricas para elipses, círculos e hipérbolas.

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