Cómo Graficar Secciones Cónicas en Forma Polar Basado en Excentricidad

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Por Yang Kuang, Elleyne Kase

Cuando se grafican secciones cónicas en el plano polar, se utilizan ecuaciones que dependen de un valor especial conocido como excentricidad, que describe la forma general de una sección cónica. El valor de la excentricidad de una cónica puede decirte qué tipo de sección cónica describe la ecuación, así como cuán gorda o delgada es.

Cuando graficas ecuaciones en coordenadas polares, puedes tener problemas para saber qué sección cónica deberías graficar basándose únicamente en la ecuación (a diferencia de la graficación en coordenadas cartesianas, donde cada sección cónica tiene su propia ecuación única). Por lo tanto, puede utilizar la excentricidad de una sección cónica para averiguar exactamente qué tipo de curva debe graficar.

Aquí están las dos ecuaciones que te permiten poner secciones cónicas en forma de coordenadas polares, donde (r, theta) es la coordenada de un punto de la curva en forma polar. Recordemos que r es el radio, y theta es el ángulo en posición estándar en el plano de coordenadas polares.

Cuando se grafican secciones cónicas en forma polar, se pueden conectar varios valores de theta para obtener el gráfico de la curva. En cada ecuación anterior, k es un valor constante, theta toma el lugar del tiempo, y e es la excentricidad. La variable e determina la sección cónica:

  • Si e = 0, la sección cónica es un círculo.
  • Si 0 < e < 1, la sección cónica es una elipse.
  • Si e = 1, la sección cónica es una parábola.
  • Si e > 1, la sección cónica es una hipérbola.

Por ejemplo, digamos que quieres graficar esta ecuación:

Lo primero que necesitas hacer es hacer que el denominador comience con 1. ¡Este denominador comienza con 4, así que tienes que tener en cuenta ese 4 para averiguar qué es k!

Factorizando los 4 del denominador te da [

Para mantener la ecuación cerca de la forma estándar para las cónicas polares, multiplica el numerador y el denominador por 1/4. Este paso le ofrece

Por lo tanto, la constante k es 1/2 y la excentricidad, e, es 1/4, lo que te indica que tienes una elipse porque e está entre 0 y 1.

Para graficar la función polar de esta elipse, puedes conectar valores de theta y resolver para r. Luego traza las coordenadas de (r, theta) en el plano de coordenadas polares para obtener la gráfica. Para el gráfico de la ecuación de ejemplo,

puedes enchufar

y encontrar r en cada caso:

Estos cuatro puntos son suficientes para darle un bosquejo aproximado de la gráfica.

La gráfica de una elipse en coordenadas polares.

Puede ver el gráfico de la elipse de ejemplo en esta figura.

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