Cómo utilizar identidades de medio ángulo para evaluar una función de disparo

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Por Yang Kuang, Elleyne Kase

Puede usar identidades de medio ángulo para evaluar una función de trigonometría de un ángulo que no está en el círculo de la unidad usando una que sí lo está. Por ejemplo, 15 grados, que no está en el círculo de la unidad, es la mitad de 30 grados, que está en el círculo de la unidad.

Cortar ángulos especiales en el círculo de la unidad por la mitad le da una variedad de nuevos ángulos que no se pueden lograr usando las fórmulas de suma y diferencia o las fórmulas de doble ángulo. Aunque las fórmulas de medio ángulo no te darán todos los ángulos del círculo de la unidad, ciertamente te acercan más de lo que eras antes.

El truco está en saber qué tipo de identidad sirve mejor a tu propósito. Las fórmulas de medio ángulo son la mejor opción cuando necesita encontrar los valores de trigonometría para cualquier ángulo que pueda expresarse como la mitad de otro ángulo en el círculo de la unidad. Por ejemplo, para evaluar una función trigonométrica de pi/8, puede aplicar la fórmula de medio ángulo a pi/4. Debido a que ninguna combinación de sumas o diferencias de ángulos especiales te da pi/8, sabes que debes usar una fórmula de medio ángulo.

También puede encontrar los valores de las funciones trigonométricas para ángulos como pi/12, cada uno de los cuales es exactamente la mitad de los ángulos del círculo unitario. Por supuesto, estos ángulos no son los únicos para los que funcionan las identidades. Puede continuar dividiendo a la mitad cualquier ángulo del círculo de la unidad por el resto de su vida (si no tiene nada mejor que hacer) y tomar las funciones de trigonometría de esos ángulos. Por ejemplo, 15 grados es la mitad de 30 grados, y 7,5 grados es la mitad de 15 grados.

Las fórmulas de medio ángulo para seno, coseno y tangente son las siguientes:

En la fórmula de medio ángulo para seno y coseno, observe que aparece un signo más/menos delante de cada radical (raíz cuadrada). Si su respuesta es positiva o negativa depende del cuadrante en el que se encuentre el nuevo ángulo (el ángulo medio). La fórmula de medio ángulo para la tangente no tiene un signo más/menos delante, por lo que lo anterior no se aplica a la tangente.

Por ejemplo, para encontrar sin 165º, siga estos pasos:

  1. Reescriba la función trigonométrica y el ángulo como la mitad de un valor de círculo unitario. 165 grados es la mitad de 330 grados, por lo que puede reescribir la función sinusoidal como sin (330/2).
  2. Debido a que 165 grados está en el cuadrante II del plano de coordenadas, su valor sinusoidal debe ser positivo.
  3. El valor del ángulo de 330 grados se conecta a x en la fórmula de medio ángulo positivo para el seno. Esto le da
  4. Usa el círculo de la unidad para encontrar cos 330 grados. Sustituyendo ese valor en la ecuación te da
  5. Este enfoque tiene tres pasos: Encuentra el común denominador para las dos fracciones de arriba (incluyendo 1/1) para conseguir Usar las reglas para dividir las fracciones para conseguir Finalmente, el cuadrado de abajo se simplifica a 2, y terminas con

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