Cómo hacer la integración por partes

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La integración por partes es la versión de integración de la regla de producto para la diferenciación. La idea básica de la integración por partes es transformar una integral que no se puede hacer en un simple producto menos una integral que se puede hacer. Aquí está la fórmula:

No trates de entender esto todavía. Espere los ejemplos que siguen.

Si recuerdas eso, puedes recordar fácilmente que la integral de la derecha es igual a la de la izquierda, excepto que con la u y la v invertidas.

Este es el método en pocas palabras.

Primero, tienes que dividir el integrando en una u y un dv para que se ajuste a la fórmula. Para este problema, elige ln(x) para que sea tu u. Entonces, todo lo demás es el dv, a saber

A continuación, usted diferencia u para obtener su du, e integrar dv para obtener su v. Por último, usted conecta todo en la fórmula y usted está libre de casa.

La integración por caja de piezas.

Para ayudar a mantener todo en orden, organice los problemas de integración por partes con un cuadro como el de la figura anterior. Dibuja una caja vacía de 2 por 2, luego pon tu u, ln(x), en la esquina superior izquierda y tu dv,

en la esquina inferior derecha, como en la siguiente figura.

Rellenando la casilla.

Las flechas de esta figura le recuerdan que debe diferenciar a la izquierda e integrar a la derecha. Piense en la diferenciación -lo más fácil- como bajar (como bajar), y la integración -lo más difícil- como subir (como subir).

Ahora complete la caja:

La casilla cumplimentada para

se muestra en la siguiente figura.

Una buena manera de recordar la fórmula de integración por partes es empezar por el cuadrado superior izquierdo y dibujar un número imaginario 7 – a través, luego hacia abajo a la izquierda, como se muestra en la siguiente figura. Este es un dispositivo tan siete veces mnemotécnico (¿entiendes? -«siete veces» como»celestial»-ha, ha, ha, ha, ha.)

Recordando cómo dibujas el 7, mira hacia atrás a la figura con la caja completa. La fórmula de integración por partes le dice que haga la parte superior del 7, a saber

menos la integral de la parte diagonal del 7,

(Por cierto, este método es mucho más fácil de hacer que de explicar. Pruebe la técnica de la caja con el 7 mnemotécnico. Verás cómo este esquema te ayuda a aprender la fórmula y a organizar estos problemas.)

¿Listo para terminar? Enchufa todo en la fórmula:

Esto se debe a que -2/3 veces cualquier número sigue siendo cualquier número.

Aquí hay un gran dispositivo mnemotécnico para elegir la u (de nuevo, una vez que hayas seleccionado tu u, todo lo demás es automáticamente el dv.

Herbert E. Kasube inventó el acrónimo LIATE para ayudarle a elegir su u (los expertos en cálculo pueden consultar el artículo de Herb en el número 90 de American Mathematical Monthly de 1983):

log(x)II inverso trigonométrico arctan(x)AAlgebraico 5x + 3 (x puede ser elevado a cualquier potencia)TTrigonométrico cos(x)EExponencial 10 elevado a la potencia x

(tenga en cuenta que para calificar como una función exponencial, la potencia debe contener una x, no sólo un número).

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