Cómo utilizar el Teorema del ángulo de inclinación

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Por Mark Ryan

El teorema del ángulo bisectriz establece que si una semirrecta divide un ángulo de un triángulo, entonces divide el lado opuesto en segmentos que son proporcionales a los otros dos lados. La siguiente figura ilustra esto.

El teorema del ángulo-bisector implica una proporción – como con triángulos similares. Pero tenga en cuenta que nunca se obtienen triángulos similares cuando se divide en dos un ángulo de un triángulo (a menos que se divida en dos el ángulo de vértice de un triángulo isósceles, en cuyo caso la bisectriz del ángulo divide el triángulo en dos triángulos congruentes).

No olvides el Teorema del Apostador de Ángulo. (Por alguna razón, los estudiantes a menudo olvidan este teorema.) Así que cuando veas un triángulo con uno de sus ángulos dividido en dos, considera la posibilidad de usar el teorema.

¿Qué tal un problema con el ángulo de inclinación? Por qué? Oh, sólo BCUZ.

Dada: Esquema como se muestra

Buscar: 1.) BZ, CU, UZ, y BU y 2.) El área del triángulo BCU y del triángulo BUZ

  1. Encuentra BZ, CU, UZ, y BU. Es un triángulo de 6-8-10, así que BZ es 10. Luego, establece CU igual a x. UZ entonces se convierte en 8 – x. Establece la proporción ángulo-bisector y resuelve para x:Así que CU es 3 y UZ es 5. El Teorema de Pitágoras entonces te da BU:
  2. Calcula el área del triángulo BCU y del triángulo BUZ Ambos triángulos tienen una altura de 6 (cuando usas el segmento CU y el segmento UZ como sus bases), así que sólo usa la fórmula del área del triángulo:

Observe que la proporción de las áreas de estos triángulos, 9 : 15 (que se reduce a 3 : 5), es igual a la proporción de las bases de los triángulos, 3 : 5. Esta igualdad se mantiene cuando un triángulo se divide en dos triángulos con un segmento desde uno de sus vértices hacia el lado opuesto (independientemente de que este segmento corte o no el ángulo del vértice exactamente a la mitad).

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