Cómo utilizar derivados parciales en la economía empresarial

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Por Robert J. Graham

En la mayoría de los casos, dos funciones variables son demasiado simplistas para describir adecuadamente una situación cuando se trata de utilizar el cálculo en la economía empresarial. Cuando las funciones tienen tres o más variables (dos o más variables independientes), los economistas frecuentemente quieren enfocarse en cómo los cambios en el valor de una variable independiente afectan el valor de la variable dependiente.

Considere una situación en la que la cantidad vendida del producto de su empresa dependa del precio del producto, p, ingresos del consumidor, Y, y la cantidad de dinero gastada en publicidad, A, o

Usted puede estar interesado principalmente en cómo su publicidad afecta la cantidad vendida.

Para determinar esta relación, se quiere determinar el efecto incremental o marginal que la publicidad tiene sobre la cantidad, q, manteniendo todo lo demás -las otras variables independientes- constante.

Obtenga esta información tomando la derivada parcial de la función con respecto a la publicidad.

Se obtiene un derivado parcial aplicando las reglas para encontrar un derivado, mientras se tratan todas las variables independientes, excepto la de interés, como constantes. Así, en el ejemplo, se mantiene constante tanto el precio como los ingresos. Y lo mejor de las constantes es que su derivado es igual a cero!

Supongamos que la siguiente ecuación describe la relación entre la cantidad vendida de un bien y su precio, los ingresos de los consumidores y la cantidad gastada en publicidad

donde q es el número de unidades vendidas por mes, p es el precio por unidad en dólares, Y es el ingreso promedio del consumidor en dólares, y A es el gasto de publicidad en dólares.

Para determinar la derivada parcial de la cantidad con respecto a la publicidad, debe seguir los siguientes pasos:

  1. Primero, recuerde que tanto p como Y son tratadas como constantes. Por lo tanto, usted los trata exactamente como lo haría con un número al tomar el derivado.
  2. Para tomar la derivada parcial de q con respecto a A, comience con el primer término «1,000» y su derivada es igual a cero en la derivada parcial.
  3. El segundo término «-10p» tiene una derivada parcial igual a cero porque se trata la p como una constante o un número.
  4. El siguiente término «+0.01Y» también tiene una derivada parcial igual a cero porque se trata la Y como una constante.
  5. La derivada del término «0.2A» es igual a 0.2, porque se trata la A como una variable en esta derivada parcial. Usted está interesado en determinar cómo los cambios en el valor de A afectan a q.
  6. La derivada del término «-0.01A×p» es igual a -0.01p. Recuerde, usted trata a p igual que a cualquier número, mientras que A es la variable.
  7. Finalmente, el derivado del término «-0.0001A2» es igual a -0.0002A.Si se suma cada uno de estos pasos se obtiene una derivada parcial de q con respecto a A de

Del mismo modo, el derivado parcial de la cantidad con respecto al precio, δq/δp, y el derivado parcial de q con respecto a Y, δq/δY, pueden determinarse tratando como constantes cualquier variable distinta a las especificadas en el derivado parcial. Estos derivados parciales serían

y

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