Cómo multiplicar matrices entre sí

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Por Yang Kuang, Elleyne Kase

Multiplicar matrices es muy útil para resolver sistemas de ecuaciones. Esto se debe a que puede multiplicar una matriz por su inversa en ambos lados del signo igual para obtener eventualmente la matriz variable en un lado y la solución para el sistema en el otro.

Desafortunadamente, multiplicar dos matrices juntas no es tan simple como multiplicar los términos correspondientes. Cada elemento de cada matriz se multiplica por cada término de la otra en algún momento.

Para la multiplicación de matrices, las matrices se escriben una al lado de la otra sin ningún símbolo entre ellas. Si desea multiplicar las matrices A y B para obtener su producto AB, el número de columnas en A debe coincidir con el número de filas en B. Cada elemento en la primera fila de A se multiplica por cada elemento correspondiente de la primera columna de B, y luego todos estos productos se suman para obtener el elemento de la primera fila, primera columna de AB. Esto se conoce como tomar el producto del punto de la primera fila de A con la primera columna de B. Para encontrar el valor en la primera fila, la segunda posición de la columna, tome el producto del punto de la primera fila de A con la segunda columna de B multiplicando cada elemento en la primera fila de A por cada elemento en la segunda columna de B, y luego sume todos estos productos juntos. Al final, después de calcular todos los productos de puntos posibles, su nueva matriz debe tener el mismo número de filas que A y el mismo número de columnas que B.

Por ejemplo, para multiplicar una matriz A con 3 filas y 2 columnas por una matriz B con 2 filas y 4 columnas, se toma el producto de puntos de la primera fila de A con cada una de las columnas de B, produciendo 4 términos en la primera fila del producto AB. Tomando el producto punteado de la segunda fila de A con cada una de las columnas de B se produce la segunda fila del producto AB, que contiene otros 4 términos. Y lo mismo ocurre con la producción de la última fila de AB. Se termina con una matriz de 3 filas y 4 columnas.

Si la matriz A tiene dimensiones m x n y la matriz B tiene dimensiones n x p, AB es una matriz m-x-p. Esta figura le da una representación visual de la multiplicación de la matriz.

Multiplicando dos matrices que coinciden.

Cuando multiplicas matrices, no multiplicas las partes correspondientes como cuando sumas o restas. Además, en la multiplicación de matrices, AB no es igual a BA. De hecho, el hecho de que pueda multiplicar A por B no significa que pueda multiplicar B por A. El número de columnas en A puede ser igual al número de filas en B, pero el número de columnas en B puede no ser igual al número de filas en A. Por ejemplo, puede multiplicar una matriz con 3 filas y 2 columnas por una matriz con 2 filas y 4 columnas. Sin embargo, no se puede hacer la multiplicación de la otra manera porque no se puede multiplicar una matriz con 2 filas y 4 columnas por una matriz con 3 filas y 2 columnas. Si usted trató de tomar el producto punto multiplicando los términos correctos juntos y luego agregando sus productos, en algún momento del camino usted se quedaría sin términos!

He aquí un ejemplo de multiplicación de matrices. Digamos que un problema le pide que multiplique las dos matrices siguientes:

Primero, asegúrese de que puede multiplicar las dos matrices. La matriz A es 3 x 2 y B es 2 x 4, así que puedes multiplicarlas para obtener una matriz 3-x-4 como respuesta. Ahora puede proceder a tomar el producto de puntos de cada fila de la primera matriz con cada columna de la segunda.

El proceso de multiplicar AB.

Esta figura muestra el proceso para usted. Puede empezar multiplicando cada término de la primera fila de A por los términos secuenciales de las columnas de la matriz B. Tenga en cuenta que multiplicar cada entrada de la fila uno por la correspondiente entrada de la columna uno y sumar estos productos le da la entrada de la fila uno, columna uno. De manera similar, multiplicando cada entrada de la fila dos por la entrada correspondiente de la columna tres se obtiene la entrada de la fila dos y la de la columna tres.

Eliminando toda la pelusa, la matriz de producto es

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