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- Cómo hacer una prueba de paralelogramo
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Geometría para tontos, 2ª edición
Por Mark Ryan
Una buena manera de comenzar una prueba es pensar en un plan de juego que resuma su argumento básico o cadena de lógica. Los siguientes ejemplos de pruebas de paralelogramo muestran planes de juego seguidos de las pruebas formales resultantes.
Prueba 1
He aquí un plan de juego que describe cómo podría ir tu pensamiento:
- Fíjate en los triángulos congruentes. Compruebe siempre que no haya triángulos que parezcan congruentes!
- Salte al final de la prueba y pregúntese si podría probar que QRVU es un paralelogramo si supiera que los triángulos son congruentes. Usando CPCTC (Corresponding Parts of Congruent Triangles are Congruent), usted podría mostrar que QRVU tiene dos pares de lados congruentes, y eso lo convertiría en un paralelogramo. ……………………………………………
- Averigüe cómo podría mostrar que los triángulos son congruentes. Ya tienes el segmento QV congruente consigo mismo por la propiedad Reflexive y un par de ángulos congruentes (dado), y puedes obtener el otro ángulo para AAS (Angle-Angle-Side) con suplementos de ángulos congruentes. Eso es todo.
Hay otras dos buenas maneras de hacer esta prueba. Si usted notó que los ángulos congruentes dados, UQV y RVQ, son ángulos interiores alternativos, podría haber concluido correctamente que los segmentos UQ y VR son paralelos. (Esto es algo bueno de notar, así que felicitaciones si lo hizo.) Usted podría entonces haber tenido la buena idea de tratar de probar el otro par de lados paralelos para poder usar el primer método de prueba de paralelogramo. Puedes hacer esto probando los triángulos congruentes, usando CPCTC, y luego usando ángulos interiores alternativos VQR y QVU, pero asumiendo, por el bien del argumento, que no te diste cuenta de esto. Parece que estás en un callejón sin salida. No dejes que esto te frustre. Cuando se hacen pruebas, no es raro que las buenas ideas y los buenos planes conduzcan a callejones sin salida. Cuando esto suceda, vuelve a la mesa de dibujo. Una tercera manera de hacer la prueba es obtener ese primer par de líneas paralelas y luego mostrar que también son congruentes – con triángulos congruentes y CPCTC – y luego terminar con el quinto método de prueba de paralelogramo.
Echa un vistazo a la prueba formal:
Declaración 1:
Motivo de la afirmación 1: Dado.
Estado financiero 2:
Motivo del enunciado 2: Dado.
Estado financiero 3:
Motivo de la afirmación 3: Si dos ángulos son complementarios de otros dos ángulos congruentes, entonces son congruentes.
Estado financiero 4:
Motivo de la afirmación 4: PropiedadReflexiva.
Estado financiero 5:
Motivo del balance 5: AAS (3, 1, 4)
Estado financiero 6:
Motivo de la afirmación 6: CPCTC (Las partes correspondientes de los triángulos congruentes son congruentes).
Estado financiero 7:
Motivo de la declaración 7: CPCTC.
Estado financiero 8:
Razón del enunciado 8:Si ambos pares de lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.
Prueba 2
Aquí hay otra prueba, con un par de paralelogramos. Este problema le da más práctica con los métodos de prueba de paralelogramo, y debido a que es un poco más largo que la primera prueba, le dará la oportunidad de pensar en un plan de juego más largo.
Tu plan de juego podría ser algo así:
- Busque triángulos congruentes. Este diagrama es el colmo por contener triángulos congruentes – ¡tiene seis pares de ellos! No pases mucho tiempo pensando en ellos – excepto en los que podrían ayudarte – pero al menos toma nota mentalmente de que están ahí.
- Considere los datos. Los ángulos congruentes dados, que son partes de son un gran indicio de que usted debe tratar de mostrar estos triángulos congruentes. Usted tiene esos ángulos congruentes y los lados congruentes del paralelogramo HEJG, así que sólo necesita un par más de lados o ángulos congruentes para usar SAS (Side-Angle-Side) o ASA (Angle-Side-Angle).
- Piensa en el final de la prueba. El segundo par de ángulos que necesitarías para ASA consiste en angleDHG y angle FJE.
- Considere los métodos de prueba de paralelogramo. Ahora tiene un par de lados congruentes de DEFG. Dos de los métodos de prueba de paralelogramo utilizan un par de lados congruentes. Para completar uno de estos métodos, necesita mostrar uno de los siguientes: Que el otro par de lados opuestos son congruentesEl segmento DG y el segmento EF son paralelos, así como congruentesPregúntese qué enfoque parece más fácil o más rápido.
Ahora echa un vistazo a la prueba formal:
Declaración 1:
Motivo de la afirmación 1: Dado.
Estado financiero 2:
Los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes.
Estado financiero 3:
Los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos.
Estado financiero 4:
Motivo de la afirmación 4: Si las líneas son paralelas, entonces los ángulos exteriores alternativos son congruentes.
Estado financiero 5:
Motivo de la declaración 5: Dado.
Estado financiero 6:
Motivo de la declaración 6: ASA (4, 2, 5).
Estado financiero 7:
Motivo de la declaración 7: CPCTC.
Estado financiero 8:
Motivo de la declaración 8: CPCTC.
Estado financiero 9:
Motivo de la afirmación 9: Si los ángulos interiores alternativos son congruentes
entonces las líneas son paralelas.
Estado financiero 10:
Si un par de lados opuestos de un cuadrilátero son paralelos y congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo (líneas 9 y 7).