Cómo manejar la velocidad como un vector

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Por Steven Holzner

La velocidad es un vector, y como tal, tiene una magnitud y una dirección asociada con ella. Suponga que está en un auto que viaja hacia el este a 88 metros/segundo cuando comienza a acelerar hacia el norte a 5.0 metros/segundo2 durante 10.0 segundos. ¿Cuál es su velocidad final?

Puedes pensar que puedes usar esta ecuación para averiguar la respuesta:

Pero eso no es una ecuación vectorial; las cantidades aquí se llaman escalares (la magnitud de un vector es un escalar). Esta es una ecuación escalar, y no es apropiado usarla aquí porque la aceleración y la velocidad inicial no están en la misma dirección. De hecho, la velocidad en sí misma es un escalar, así que tienes que pensar en términos no de velocidad sino de velocidad.

Aquí está la misma ecuación que una ecuación vectorial:

Nótese que las velocidades son ahora velocidades (la velocidad es la magnitud de un vector de velocidad) y que todo aquí es un vector excepto el tiempo (que siempre es un escalar). Este cambio significa que la suma que realizas en esta ecuación es la suma vectorial, que es lo que quieres porque los vectores pueden manejar la suma en múltiples dimensiones, no sólo en línea recta.

Aquí están las ecuaciones de movimiento, escritas como ecuaciones vectoriales:

Ejemplo de pregunta

  1. Estás en un auto que viaja hacia el este a 88.0 metros/segundo; luego aceleras hacia el norte a 5.00 metros/segundo2 durante 10.0 segundos. Comience con esta ecuación vectorial: vf = vo + a x tEsta ecuación es simplemente una suma vectorial, así que trate las cantidades involucradas como vectores, es decir, vo= (88, 0) metros/segundo y a = (0, 5) metros/segundo2. Así es como se ve la ecuación cuando conectas los números:vf = (88.0, 0) + (0, 5.00)(10.0)Haz las matemáticas:vf = (88.0, 0) + (0, 5.00)(10.0) = (88.0, 50.0)Se te pide que encuentres la velocidad final, que es la magnitud de la velocidad. Aplica la ecuación theta = tan-1(y/x) para encontrar el ángulo, que es tan-1(50.0/88.0) = tan-1(0.57) = 29.6 grados en este caso.

Preguntas de práctica

  1. Vas a 40.0 metros/segundo al este, y luego aceleras 10.0 metros/segundo2 al norte durante 10.0 segundos. ¿Cuál es la dirección y magnitud de su velocidad final?
  2. Vas a 44.0 metros/segundo a 35 grados, y luego aceleras hacia el oeste a 4.0 metros/segundo2 durante 20.0 segundos. ¿Cuál es la dirección y magnitud de su velocidad final?
  3. Un disco de hockey va a 100.0 metros/segundo a 250 grados cuando es golpeado por un palo de hockey, que lo acelera a 1.0 x 103 metros/segundo2 a 19 grados durante 0.10 segundos. ¿Cuál es la dirección y magnitud de la velocidad final del disco?
  4. Un auto está conduciendo por una carretera helada a 10.0 metros/segundo a 0 grados cuando patina, acelerando a 15 metros/segundo2 a 63 grados durante 1.0 segundo. ¿Cuál es la dirección y magnitud de la velocidad final del coche?

A continuación se presentan las respuestas a las preguntas de práctica:

  1. Magnitud 108 metros/segundo, ángulo 68 gradosInicie con esta ecuación: vf = vo +a x t.Conecte los números: vf = (40.0, 0) + (0, 10.0)(10.0) = (40.0, 100.0) Convierta el vector (40.0, 100.0) en forma de magnitud/ángulo. Usa la ecuación theta = tan-1(y/x) para encontrar el ángulo: tan-1(100.0/40.0) = tan-1(2.5) = 68 grados.aplica la ecuación para encontrar la velocidad – la magnitud de la velocidad, dándote 108 metros/segundo.
  2. Magnitud 50.7 metros/segundo, ángulo 150 gradosInicie con esta ecuación: vf = vo +a x t. Convierta la velocidad original en notación de componente vectorial. vx = v cos theta para encontrar la coordenada x del vector de velocidad original: 44.0 x cos 35 grados = 36.0.Usa la ecuación vy = v sin thetato encuentra la coordenada y de la velocidad: 44.0 x pecado 35 grados, o 25.2. Así que la velocidad es (36.0, 25.2) en forma de coordenadas: (36.0, 25.2) + (-4.0, 0)(20.0) = (-44.0, 25.2) Convertir el vector (-44.0, 25.2) en forma de magnitud/ángulo Usar la ecuación theta = tan-1(y/x) para encontrar el ángulo: tan-1(25.2/-44.0) = tan-1(0.57) = 150 grados Aplicar la ecuación para encontrar la velocidad – la magnitud de la velocidad, dándote 50.7 metros/segundo.
  3. Magnitud 86.1 metros/segundo, ángulo -46 gradosEmpieza con esta ecuación: vf= vo +a x t. Convierte la velocidad original en notación de componentes vectoriales.usa la ecuación vx = v cos thetato encuentra la coordenada x del vector de velocidad original: 100.0 x cos 250 grados = -34.2.Utilice la ecuación vy = v sin thetato encontrar la coordenada y de la velocidad: 100.0 x sin 250 grados, o -94.0.Así que la velocidad original es (-34.2, -94.0) en forma de coordenadas.convertir la aceleración en componentes: (1.0 x 103)cos 19 grados = 946. Usa la ecuación ay = un theta de pecado para encontrar la coordenada y de la aceleración: (1.0 x 103)sin 19 grados, o 325.So la aceleración es (946, 325) en forma de coordenadas: (-34.2, -94.0) + (945, 325)(0.1) = (60.3, -61.5) Convierte el vector (60.3, -61.5) en forma de magnitud/ángulo y usa la ecuación theta = tan-1(y/x) para encontrar el ángulo: tan-1(61.5/60.3) = tan-1(-1.0) = -46 grados. Aplica la ecuación para encontrar la velocidad – la magnitud de la velocidad, dándote 86.1 metros/segundo.
  4. Magnitud 21,5 metros/segundo, ángulo 39 gradosInicie con esta ecuación: vf = vo+a x t. Convierta la velocidad original en notación de componentes vectoriales: Convierte la aceleración en componentes. Usa la ecuación ax = a cos theta para encontrar la coordenada x de la aceleración: 15 x cos 63 grados = 6.8.Usa la ecuación ay = un theta de pecado para encontrar la coordenada y de la aceleración: 15 x sin 63 grados, o 13.4.Así que la aceleración es (6.8, 13.4) en forma de coordenadas: (10.0, 0) + (6.8, 13.4)(1.0) = (16.8, 13.4) Convierte el vector (16.8, 13.4) en forma de magnitud/ángulo. usa la ecuación theta = tan-1(y/x) para encontrar el ángulo: tan-1(13.4/16.8) = tan-1(0.79) = 39 grados. aplica la ecuación para encontrar la magnitud de la velocidad, dándote 21.5 metros/segundo.

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