Cómo graficar la inversa de una función

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Por Yang Kuang, Elleyne Kase

Si se te pide que grafiques la inversa de una función, puedes hacerlo recordando un hecho: una función y su inversa se reflejan sobre la línea y = x. Esta línea pasa a través del origen y tiene una pendiente de 1.

Cuando se te pide que dibujes una función y su inversa, puedes elegir dibujar esta línea como una línea punteada; de esta manera, actúa como un gran espejo, y puedes ver literalmente los puntos de la función reflejándose sobre la línea para convertirse en los puntos de función inversa. Reflejar sobre esa línea cambia la x y la y y te da una forma gráfica de encontrar lo contrario sin trazar toneladas de puntos.

La mejor manera de entender este concepto es verlo en acción. Por ejemplo, digamos que usted sabe que estas dos funciones son inversas entre sí:

Para ver cómo cambian de lugar x e y, siga estos pasos:

  1. Toma un número (cualquiera que quieras) y conéctalo a la primera función dada, digamos que escoges -4. Cuando evalúas f(-4), obtienes -11. Como un punto, esto está escrito (-4, -11).
  2. Tome el valor del Paso 1 y conéctelo a la otra función, en este caso, necesita encontrar g(-11). Cuando lo hagas, tendrás -4 de vuelta otra vez. Como un punto, este es (-11, -4). Whoa!

Esto funciona con cualquier número y con cualquier función y su inversa: El punto (a, b) en la función se convierte en el punto (b, a) en su inverso. Pero no dejes que esa terminología te engañe. Debido a que todavía son puntos, los graficas de la misma manera que siempre has graficado puntos.

Todo el dominio y el rango intercambian lugares desde una función hasta su inversa. Por ejemplo, sabiendo que sólo unos pocos puntos de la función f(x) = 2x – 3 incluyen (-4, -11), (-2, -7), y (0, -3), usted sabe automáticamente que los puntos en la g(x) inversa serán (-11, -4), (-7, -2), y (-3, 0).

Así que si se te pide que grafiques una función y su inversa, todo lo que tienes que hacer es graficar la función y luego cambiar todos los valores x e y en cada punto para graficar la inversa. Basta con mirar todos esos valores que cambian de lugar de la función f(x) a su inversa g(x) (y viceversa), reflejados sobre la línea y = x.

Ahora puede graficar la función f(x)= 3x – 2 y su inversa sin siquiera saber lo que es su inversa. Debido a que la función dada es una función lineal, puede graficarla utilizando el formulario de intercepción de pendiente. Primero, grafica y = x. La forma pendiente-intercepción te da la intersección y en (0, -2). Como la pendiente es 3=3/1, se mueven 3 unidades hacia arriba y más de 1 unidad para llegar al punto (1, 1). Si vuelves a mover 3 unidades hacia arriba y más de 1 unidad, obtienes el punto (2, 4). La función inversa, por lo tanto, se mueve a través de (-2, 0), (1, 1), y (4, 2). Tanto la función como su inversa se muestran aquí.

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