Cómo utilizar la notación Sigma para encontrar el área bajo una curva

  1. Educación
  2. Matemáticas
  3. Cálculo
  4. Cómo utilizar la notación Sigma para encontrar el área bajo una curva

Libro Relacionado

Por Mark Ryan

Puedes usar la notación sigma para escribir la suma de Riemann para una curva. Esto es útil cuando se desea derivar la fórmula para el área aproximada debajo de la curva. Por ejemplo, digamos que quiere encontrar el área aproximada de n rectángulos rectos entre x = 0 y x = 3 bajo la función f (x) = x2 + 1.

los rectángulos rectos aproximan el área bajo f (x) = x2/p>Seis rectángulos rectos aproximan el área bajo f (x) = x2+ 1 entre 0 y 3

. Por cierto, no necesitas la notación sigma para las matemáticas que siguen. Es sólo una»conveniencia» – oh, claro. Cruza los dedos y espera que tu profesor decida no cubrir esto. Se pone bastante retorcido.

La regla del punto medio: Puede aproximar el área exacta bajo una curva entre a y b,

con una suma de rectángulos de punto medio dada por la siguiente fórmula. En general, cuantos más rectángulos, mejor será la estimación.

donde n es el número de rectángulos,

es el ancho de cada rectángulo, x0 a xn son los puntos n + 1 espaciados uniformemente de a a a b, y los valores de las funciones son las alturas de los rectángulos.

Aplicando la regla del punto medio a este ejemplo, usted obtiene:

Aquí está la misma fórmula escrita con notación sigma:

(Tenga en cuenta que podría escribir esto en su lugar como

lo que reflejaría mejor la fórmula anterior, en la que se utiliza la opción

está en el exterior. De cualquier manera está bien – son equivalentes – pero usted puede elegir mantener la opción

en el interior para que el

sum es en realidad una suma de rectángulos. En otras palabras, con el

en el interior, la expresión después de la

símbolo,

que el

le dice que sume, es el área de cada rectángulo, es decir, la altura por la base.)

Ahora resuelve esto para los seis rectángulos rectangulares de la figura.

Estás calculando el área bajo x2+ 1 entre x = 0 y x = 3 con seis rectángulos, así que el ancho de cada uno,

A continuación, porque el ancho de cada rectángulo es

los bordes derechos de los seis rectángulos caen sobre los primeros seis múltiplos de

Estos números son las coordenadas x de los seis puntos x1 a x6; pueden ser generados por la expresión

donde i es igual a 1 hasta 6. Puede comprobar que esto funciona conectando 1 para i in

luego 2, luego 3, hasta 6. Así que ahora puedes reemplazar el xi en la fórmula con

dándote

La función en este ejemplo,

y ahora puedes escribir

Si conectas 1 en i, luego 2, luego 3, y así sucesivamente hasta 6 y haces las cuentas, obtienes la suma de las áreas de los rectángulos en la figura. Esta notación sigma es sólo una forma elegante de escribir la suma de los seis rectángulos.

¿Te estás divirtiendo? Espera, se pone peor, lo siento. Ahora vas a escribir la suma general para un número desconocido, n, de rectángulos rectos. La extensión total del área en cuestión es de 3, ¿verdad? Divide este espacio por el número de rectángulos para obtener el ancho de cada rectángulo. Con 6 rectángulos, el ancho de cada uno es

con n rectángulos, el ancho de cada uno es

Y los bordes derechos de los n rectángulos son generados por

para i es igual a 1 hasta n. Eso te da

O, porque f (x) = x2 + 1,

Para este último paso, se tira de la tecla

a través de los símbolos de suma – se puede sacar cualquier cosa excepto una función de i, el llamado índice de suma. Además, la segunda suma en el último paso tiene sólo un 1 después de él y no i.

Así que no hay ningún lugar para conectar los valores de i. Esta situación puede parecer un poco rara, pero todo lo que haces es sumar n 1s, que es igual a n (esto se hace a continuación).

Ahora ha llegado a un paso crítico. Con un juego de manos, vas a convertir esta suma de Riemann en una fórmula en términos de n.

Ahora, como casi nadie sabe, la suma de los primeros n números cuadrados,

(Por cierto, este 6 no tiene nada que ver con el hecho de que estés usando 6 rectángulos.) Por lo tanto, puedes sustituir esa expresión por la de

en la última línea de la solución de notación sigma, y al mismo tiempo sustituir n por

El fin. ¡Por fin! Esta es la fórmula para el área de n rectángulos rectos entre x = 0 y x = 3 bajo la función f (x) = x2 + 1.

Leave a Reply