Cómo utilizar la función de Langrangian en la economía empresarial

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Por Robert J. Graham

Las situaciones empresariales se complican aún más por las limitaciones, que pueden explicarse en la economía empresarial utilizando la función lagrangiana. Tal vez la empresa ha firmado un contrato para producir 1.000 unidades del buen diario, o la empresa tiene ciertos insumos, como el tamaño de la fábrica, que no se pueden cambiar. Las restricciones limitan las opciones de la empresa. Su objetivo es optimizar una función sujeta a las limitaciones o restricciones.

La función lagrangiana es una técnica que combina la función que se está optimizando con funciones que describen la restricción o restricciones en una sola ecuación. Resolver la función de Lagrange le permite optimizar la variable que elija, sujeto a las restricciones que no puede cambiar.

Cómo identificar su objetivo (función)

La función objetivo es la función que está optimizando. La variable dependiente en la función de objetivo representa su objetivo: la variable que desea optimizar. Ejemplos de funciones objetivas incluyen la función de ganancia para maximizar la ganancia y la función de utilidad para que los consumidores maximicen la satisfacción (utilidad).

Funciones de restricción

Una función de restricción representa una limitación en su comportamiento. La variable dependiente en la restricción representa la limitación. Algunos ejemplos de funciones de restricción incluyen el número de unidades que se deben fabricar para satisfacer un contrato y el presupuesto disponible para un consumidor.

Cómo construir la función lagrangiana

La técnica para construir una función lagrangiana es combinar la función objetiva y todas las restricciones de una manera que satisfaga dos condiciones. Primero, la optimización de la función lagrangiana debe resultar en la optimización de la función objetivo. En segundo lugar, deben cumplirse todas las limitaciones. Para satisfacer estas condiciones, utilice los siguientes pasos para especificar la función de Lagrange.

Supongamos que u es la variable que se está optimizando y que es una función de las variables x y z. Por lo tanto,

Además, hay dos restricciones, c1 y c2, que también son funciones de x y z;

Los siguientes pasos establecen la función de Lagrange:

  1. Respecifique las restricciones para que sean iguales a cero.
  2. Multiplique las restricciones por los factores lambda uno y lambda dos, ë1 y ë2, respectivamente (más sobre estos en un momento).
  3. Añada las restricciones con el término lambda a la función objetivo para formar la función lagrangiana Â’.

En esta especificación de la función lagrangiana, las variables están representadas por x, z, λ1 y λ2 Tomando los derivados parciales del lagrangiano con respecto a λ1 y λ2 y poniéndolos en cero aseguramos que sus restricciones sean satisfechas, mientras que tomando los derivados parciales del lagrangiano con respecto a x y z y poniéndolos en cero optimizamos su función objetiva.

El multiplicador lagrangiano

La economía empresarial tiene muchos atajos útiles. Uno de esos atajos es el λ utilizado en la función Lagrangian. En la función Lagrangian, las restricciones se multiplican por la variable λ, que se llama el multiplicador Lagrangian.

Esta variable es importante porque λ mide el cambio que ocurre en la variable que se está optimizando dado un cambio de una unidad en la restricción. Si está intentando minimizar el coste de producción de una cantidad determinada de producción, λ le informa de la cantidad de cambios en el coste total si produce una unidad más de producción. Esto permite evaluar rápidamente las relaciones entre las restricciones y la variable que se está optimizando.

Suponga que su empresa tiene un contrato que requiere que produzca 1.000 unidades de un buen diario. La empresa utiliza mano de obra y capital para producir el bien. La cantidad de mano de obra empleada, L, se mide en horas, y el salario es de $10 por hora. La cantidad de capital empleado, K, se mide en horas-máquina, y el precio por hora-máquina es de 40 dólares. Por lo tanto, el costo total de su empresa, TC, es igual a

La función de producción describe la relación entre las cantidades de mano de obra y capital utilizadas y la cantidad del bien producido.

Por contrato, q debe ser igual a 1.000. Debe determinar la cantidad de mano de obra y capital a utilizar para minimizar el costo de producción de las 1,000 unidades del bien.

  1. Cree una función lagrangiana. Reconozca que la variable que está tratando de optimizar es el costo total – específicamente, usted está tratando de minimizar el costo total. Por lo tanto, su función objetivo es 10L + 40K. En segundo lugar, la restricción es que se deben fabricar 1.000 unidades de la mercancía a partir de la función de fabricación. Así que su restricción es1,000 – 20L0.5K0.5 = 0.Su función Lagrangiana es
  2. Tome la derivada parcial del lagrangiano con respecto a la mano de obra y al capital -L y K- y póngalos a cero. Estas ecuaciones aseguran que la función objetivo está siendo optimizada – en este caso, el costo total es minimizado.
  3. Tome la derivada parcial de la función de Lagrange con respecto a ë y póngala igual a cero. Esta derivación parcial asegura que se cumpla la restricción, es decir, que se produzcan 1.000 unidades de la mercancía diaria.
  4. Resolver los tres derivados parciales simultáneamente para las variables L, K, y ë para minimizar el costo total de producir 1.000 unidades del bien. reescribir el derivado parcial de Β’ con respecto a L permite resolver λ.Sustituir la ecuación anterior por λ en el derivado parcial de Β’ con respecto a los rendimientos de K
  5. Sustituya L por 4K en la restricción (la derivada parcial de L con respecto a ë) a yieldThus, su empresa debería utilizar 25 horas de máquina de capital diarias. porque usted determinó anteriormente L = 4KFinalmente, puede resolver para λTherefore, la combinación de 100 horas de mano de obra y 25 horas de máquina de capital minimizan el costo total de producir 1.000 unidades de la buena diaria. Además, λ es igual a 2. Recuerde que lambda indica el cambio que ocurre en la función objetivo dado un cambio de una unidad en la restricción. Por lo tanto, si su empresa quiere producir una unidad más del bien, su costo total aumenta en $2.

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