Cómo Graficar una Elipse

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Una elipse es un conjunto de puntos en un plano, creando una forma ovalada y curvada, de manera que la suma de las distancias desde cualquier punto de la curva a dos puntos fijos (los focos) es una constante (siempre la misma). Una elipse es básicamente un círculo que ha sido aplastado horizontal o verticalmente.

Gráficamente hablando, usted debe conocer dos tipos diferentes de elipses: horizontales y verticales. Una elipse horizontal es baja y gorda; una vertical es alta y delgada. Cada tipo de elipse tiene estas partes principales:

  • El punto en el centro de la elipse se llama el centro y se llama (h, v) al igual que el vértice de una parábola y el centro de un círculo.
  • El eje principal es la línea que corre a través del centro de la elipse a lo largo del camino. La variable a es la letra que se usa para nombrar la distancia del centro a la elipse en el eje principal. Los puntos finales del eje principal están en la elipse y se denominan vértices.
  • El eje menor es perpendicular al eje mayor y discurre por el centro de forma corta. La variable b es la letra utilizada para nombrar la distancia a la elipse desde el centro del eje menor. Debido a que el eje mayor es siempre más largo que el menor, a > b. Los puntos finales en el eje menor se llaman co-vertices.
  • Los focos son los dos puntos que dictan cuán gorda o delgada es la elipse. Siempre están situados en el eje mayor, y se pueden encontrar por la siguiente ecuación: donde a y b se mencionan como en las viñetas anteriores, y F es la distancia desde el centro a cada foco.

Esta figura muestra una elipse horizontal y una elipse vertical con sus partes etiquetadas. Observe que la longitud del eje principal es 2a, y la longitud del eje principal es 2b. Esta figura también muestra la correcta colocación de los focos, siempre en el eje principal.

Dos tipos de ecuaciones se aplican a las elipses, dependiendo de si son horizontales o verticales:

La ecuación horizontal es

con el centro en (h, v), eje mayor de 2a, y eje menor de 2b.

La ecuación vertical es

con las mismas partes – aunque a y b han cambiado de lugar.

Cuando el número más grande a está por debajo de x, la elipse es horizontal; cuando el número más grande está por debajo de y, es vertical.

Tienes que estar preparado no sólo para graficar elipses, sino también para nombrar todas sus partes. Si un problema le pide que calcule las partes de una elipse, tiene que estar listo para lidiar con algunas raíces cuadradas feas y/o decimales. A continuación se presentan las partes de las elipses horizontales y verticales.

Elipse Horizontal

Centro: (h, v)

Vértices: (h ± a, v)

Co-vértices: (h, v ± b)

Longitud del eje principal: 2a

Longitud del eje menor: 2b

Elipse Vertical

Centro: (h, v)

Vértices: (h, v ± a)

Co-vértices: (h ± b, v)

Longitud del eje principal: 2a

Longitud del eje menor: 2b

Para encontrar los vértices en una elipse horizontal, usa (h ± a, v); para encontrar los co-vértices, usa (h, v ± b). Una elipse vertical tiene vértices en (h, v ± a) y co-vértices en (h ± b, v).

Por ejemplo, mire a

que ya está en la forma adecuada para graficar. Sabes que h = 5 y v = -1 (cambiando los signos dentro del paréntesis).

Este ejemplo es una elipse vertical porque el número más grande está debajo de y, así que asegúrese de usar la fórmula correcta. Esta ecuación tiene vértices en (5, -1 ± 4), o (5, 3) y (5, -5). Tiene co-vértices en (5 ± 3, -1), o (8, -1) y (2, -1).

El eje mayor en una elipse horizontal está dado por la ecuación y = v; el eje menor está dado por x = h. El eje mayor en una elipse vertical está representado por x = h; el eje menor está representado por y = v. La longitud del eje mayor es 2a, y la longitud del eje menor es 2b.

Puedes calcular la distancia del centro a los focos en una elipse (cualquier variedad) usando la ecuación

donde F es la distancia desde el centro hasta cada foco. Los focos siempre aparecen en el eje principal a la distancia dada (F) del centro.

¿Qué pasa si la ecuación elíptica que se te da no está en forma estándar? Echa un vistazo al ejemplo

Sigue estos pasos para poner la ecuación en forma estándar:

  1. Añade la constante al otro lado. Esto te da
  2. Completa el cuadrado. Necesitas factorizar dos constantes diferentes ahora – los diferentes coeficientes para
  3. En otras palabras, Nota: Añadir 1 y 4 dentro de los paréntesis realmente significa añadir a cada lado, porque debes multiplicar por el coeficiente antes de añadirlo al lado derecho.
  4. Factoriza el lado izquierdo de la ecuación y simplifica el derecho.
  5. Divide la ecuación por la constante de la derecha para obtener 1 y luego reduce las fracciones.
  6. Determinar si la elipse es horizontal o vertical, ya que el número mayor está por debajo de x, esta elipse es horizontal.
  7. Halla el centro y la longitud de los ejes mayor y menor, el centro se encuentra en (h, v), o (-1, 2).
  8. Grafica la elipse para determinar los vértices y co-vértices, ve al centro primero y marca el punto. Trazando estos puntos se localizarán los vértices de la elipse.
  9. Usted determina la distancia focal desde el centro hasta los focos en esta elipse con la ecuaciónLa figura de arriba muestra todas las partes de esta elipse en su gloria de grasa.

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