Cómo utilizar la prueba de nth Term Test para determinar si una serie converge

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Si los términos individuales de una serie (en otras palabras, los términos de la secuencia subyacente de la serie) no convergen a cero, entonces la serie debe divergir. Esta es la enésima prueba de divergencia. Por lo general, esta es una prueba muy fácil de usar.

La Prueba del Término N:

(Probablemente te diste cuenta de que con este símbolo de suma desnuda, n corre del 1 al infinito.)

Si lo piensas, esto es sólo sentido común. Cuando una serie converge, la suma de todos los términos se perfecciona en un número determinado. La única manera de que esto suceda es cuando los números que se añaden al final de la serie son infinitesimalmente pequeños – como en la serie:

Imagine, en cambio, que los términos de una serie convergen, digamos, a 1, como en la serie

En ese caso, cuando sumas los términos, sigues sumando números extremadamente cercanos a 1 una y otra vez y otra vez para siempre – y esto debe sumar hasta el infinito. Por lo tanto, para que una serie converja, los términos de la serie deben converger a cero. Pero asegúrese de entender lo que esta prueba del enésimo término no dice.

Cuando los términos de una serie convergen a cero, eso no garantiza que la serie converja. En hifalutin logicianese – el hecho de que los términos de una serie convergen a cero es una condición necesaria pero no suficiente para concluir que la serie converge a una suma finita.

Debido a que esta prueba suele ser muy fácil de aplicar, debería ser una de las primeras cosas que se comprueban cuando se intenta determinar si una serie converge o se desvía. Por ejemplo, si se le pide que determine si

converge o diverge, tenga en cuenta que cada término de esta serie es un número mayor que 1 siendo elevado a una potencia positiva. Esto siempre resulta en un número mayor que 1, y por lo tanto, los términos de esta serie no convergen a cero, y por lo tanto la serie debe divergir.

La prueba del enésimo término no sólo funciona para las series positivas ordinarias, sino que también funciona para las series con términos positivos y negativos.

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