Cómo utilizar los límites para determinar la continuidad

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Aquí aprenderás un poco sobre la continuidad, luego sobre la conexión entre continuidad y límites, y finalmente pasarás a la definición formal de continuidad.

Definición de continuidad con sentido común

La continuidad es un concepto tan simple – realmente. Una función continua es simplemente una función sin huecos, una función que puede dibujar sin necesidad de quitar el lápiz del papel. Considere las cuatro funciones de esta figura.

El hecho de que una función sea o no continua es casi siempre obvio. Las dos primeras funciones de esta figura – f (x) y g(x) – no tienen espacios en blanco, por lo que son continuas. Las siguientes dos – p(x) y q(x) – tienen espacios en x = 3, por lo que no son continuos.

¡Eso es todo lo que hay que hacer! Bueno, no exactamente. Las dos funciones con espacios en blanco no son continuas en todas partes, pero como se pueden dibujar secciones de ellas sin quitar el lápiz del papel, se puede decir que partes de esas funciones son continuas.

Y a veces, una función es continua en todas partes donde está definida. Esta función se describe como continua en todo su dominio, lo que significa que su hueco o huecos se producen en los valores x en los que la función no está definida. La función p(x) es continua en todo su dominio; q(x), por otro lado, no es continua en todo su dominio porque no es continua en x = 3, que está en el dominio de la función. A menudo, la cuestión importante es si una función es continua en un valor de x en particular. Lo es a menos que haya un hueco allí.

Todas las funciones polinómicas son continuas en todas partes. Todas las funciones racionales -una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas- son continuas en todos sus dominios.

La conexión de límite de continuidad

Con una gran excepción (a la que llegarás en un minuto), la continuidad y los límites van de la mano. Por ejemplo, considere de nuevo las funciones f, g, p, y q. Las funciones f y g son continuas en x = 3, y ambas tienen límites en x = 3. Las funciones p y q, por otro lado, no son continuas en x = 3, y no tienen límites en x = 3. La excepción a la regla se refiere a las funciones con agujeros. En realidad, cuando se trata de eso, la excepción es más importante que la regla. Considere las dos funciones en la siguiente figura.

Estas funciones tienen huecos en x = 3 y obviamente no son continuas allí, pero tienen límites a medida que x se acerca a 3. En cada caso, el límite es igual a la altura del agujero. Un agujero infinitesimal en una función es el único lugar donde una función puede tener un límite donde no es continua.

Ambas funciones en la figura tienen el mismo límite que x se aproxima a 3; el límite es 9, y los hechos de que r(3) = 2 y que s(3) es indefinido son irrelevantes. Para ambas funciones, como x ceros en 3 de cada lado, la altura de la función ceros en la altura del agujero – ese es el límite.

El límite en un agujero es la altura de un agujero.

Definición formal de continuidad

Una función f (x) es continua en un punto x = a si se cumplen las tres condiciones siguientes:

Al igual que con la definición formal de un límite, la definición de continuidad siempre se presenta como una prueba de tres partes, pero la condición 3 es la única de la que debe preocuparse porque 1 y 2 están incorporados en 3. Debe recordar, sin embargo, que la condición 3 no se satisface cuando los lados izquierdo y derecho de la ecuación son tanto indefinidos como inexistentes.

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