Cómo utilizar las matrices de transición

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Por Mary Jane Sterling

Si su instructor de matemáticas finito le pide que prediga la probabilidad de que una acción se repita con el tiempo, es posible que tenga que usar una matriz de transición para hacerlo. Una matriz de transición consiste en una matriz cuadrada que da las probabilidades de que diferentes estados vayan de uno a otro.

Con una matriz de transición, puede realizar la multiplicación de matriz y determinar tendencias, si las hay, y hacer predicciones.

Considere la tabla que muestra los patrones de compra de los diferentes cereales. Usted ve todos los porcentajes que muestran la probabilidad de pasar de un estado a otro, pero ¿cuál de los cereales termina comprando el consumidor con más frecuencia a largo plazo?

Una manera de ver las compras continuas es crear un diagrama de árbol. En la siguiente figura, se ven dos «rondas» consecutivas de compras.

Si desea la probabilidad de que el consumidor compre primero patadas, lo intente de nuevo o cualquier otra cosa, y luego compre patadas la próxima vez, sume los , , y ramas: o el 38% de las veces. Si quieres la probabilidad de que el consumidor compre primero Cheery A’s, pruebe otra cosa o repita Cheery A’s, y luego pruebe Corn Flecks, suma los , , y ramas. Esto se traduce en un 26% de las veces.

El árbol es útil porque le muestra cuáles son las opciones y cómo funcionan los porcentajes para determinar los patrones, pero hay una manera mucho más fácil y ordenada de calcular estos valores.

Para realizar cálculos y estudiar esto más a fondo, cree una matriz de transición, remitiéndose al gráfico que muestra las compras y utilizando los valores decimales de los porcentajes. Nómbralo matriz C.

A continuación, utilice la multiplicación de matrices para encontrar . Como sugerencia rápida, al multiplicar matrices, se encuentra el elemento en la primera fila, primera columna del producto, etiquetada c11, cuando se multiplican los elementos de la primera fila de la primera matriz por los elementos correspondientes de la primera columna de la segunda matriz y luego se suman los productos.

En una matriz A, el elemento de la columna kth de la fila n, se denomina ank.

El elemento de la primera fila y segunda columna del producto, c12, utiliza los elementos de la primera fila de la primera matriz y la segunda columna de la segunda matriz, y así sucesivamente para el resto de los elementos.

Por lo tanto, se toma la primera fila de la matriz izquierda multiplicada por la primera columna de la segunda matriz para obtener

Sí, este es el mismo cálculo que se hizo usando el árbol para encontrar la probabilidad de que un consumidor que empezara con Kicks volviera a él en dos compras más.

Realizando la multiplicación de matriz, se tiene

Continuando con este proceso de multiplicación, en el momento en que aparece C6 (las posibilidades de comprar un cereal en particular en el quinto momento de la compra después de la compra inicial), surge un patrón.

Note que los números en cada columna redondean a los mismos tres decimales. Esto se va a volver aún más claro, usando poderes superiores de C, hasta que una parte del poder matricial de la n-ésima parte se vuelva

La matriz muestra el patrón o tendencia.

Independientemente del cereal que el consumidor haya comprado primero, a la larga hay un 35,3% de probabilidades de que compre Kicks, un 38,4% de que compre Cheery A’s y un 26,3% de que compre Corn Flecks. Esta matriz de transición ha alcanzado un equilibrio, donde no cambiará con más multiplicaciones repetidas. Puede escribir esta situación con una matriz de una sola línea:

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