Cómo medir los momentos de la distribución F

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Por Alan Anderson

Los momentos son medidas de resumen de una distribución de probabilidad e incluyen el valor esperado, la varianza y la desviación estándar. Puede utilizar estos valores para medir hasta qué punto los grados de libertad afectan a la distribución F.

  • El valor esperado se conoce como el primer momento de una distribución de probabilidad y representa el valor medio o medio de una distribución.
  • La varianza es el segundo momento central y muestra el grado de dispersión o dispersión de los valores de una distribución en torno al valor esperado.
  • La desviación estándar no es un momento separado, sino la raíz cuadrada de la varianza.

Para la mayoría de las aplicaciones, la desviación estándar es más útil que la desviación (porque la desviación estándar se mide en las mismas unidades que el valor esperado, mientras que la desviación no lo es). Para la distribución F, utilice esta fórmula para determinar el valor esperado:

E(X) representa el valor esperado, y

representa los grados de libertad del denominador.

La fórmula del valor esperado requiere que los grados de libertad del denominador sean superiores a 2. De lo contrario, el valor esperado se vuelve negativo o indefinido.

La forma de la distribución F varía según su grado de libertad (df).

El valor esperado representa el valor medio de la distribución F. Por ejemplo, esta figura muestra un gráfico de la distribución F con 5 grados de libertad de numerador y 5 grados de libertad de denominador. El valor esperado es igual a:

La figura también muestra un gráfico de la distribución F con 20 grados de libertad de numerador y 20 grados de libertad de denominador. El valor esperado es igual a:

Esto muestra que el valor medio de la distribución F con 20 grados de libertad de numerador y 20 grados de libertad de denominador es inferior al valor medio de la distribución F con 5 grados de libertad de numerador y 5 grados de libertad de denominador.

Debido a que ambas poblaciones de padres son normales y tienen la misma varianza, y las muestras y poblaciones son independientes, usted sabe que v1 = n1 – 1 = grados de libertad del numerador, y que v2 = n2 – 1 = grados de libertad del denominador.

Para calcular la desviación, se utiliza esta fórmula:

Tenga en cuenta que la fórmula de varianza requiere que los grados de libertad del denominador sean superiores a 4; de lo contrario, la varianza se vuelve negativa o indefinida.

La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza:

La desviación y la desviación estándar se utilizan como medidas de cómo se comparan los valores de la distribución F con el valor esperado.

Por ejemplo, para la distribución F con 5 grados de libertad de numerador y 5 grados de libertad de denominador, la varianza es igual a

La desviación estándar es igual a la raíz cuadrada de 8.89, o 2.98.

Para la distribución F con 20 grados de libertad de numerador y 20 grados de libertad de denominador, la varianza es igual a

La desviación estándar es igual a la raíz cuadrada de 0.29, o 0.54.

En la figura, la distribución F con 20 grados de libertad numerador y 20 grados de libertad denominador tiene una cola que se cae muy rápidamente (de modo que la distribución está menos extendida) en comparación con la distribución F con 5 grados de libertad numerador y 5 grados de libertad denominador; por lo tanto, la distribución con 20 grados de libertad numerador y 20 grados de libertad denominador tiene una menor varianza y desviación estándar.

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