Cómo medir el área de cambio bajo una curva

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Por Mark Ryan

Puede utilizar una función de área para medir el área bajo una curva, incluso cuando el área cambia. Por ejemplo, digamos que tiene alguna función antigua, f (t). Imagina que en algún valor de t, llámalo s, dibujas una línea vertical fija, como se muestra aquí.

El área bajo f entre s y x es barrida por la línea en movimiento en x.»/>El área bajo f entre s y x es barrida por la línea en movimiento en x.

Luego usted toma una línea vertical movible, comenzando en el mismo punto, s («s» es para el punto de inicio), y la arrastra hacia la derecha. A medida que arrastras la línea, barres un área cada vez más grande por debajo de la curva. Esta área es una función de x, la posición de la línea en movimiento. En símbolos, usted escribe

Tenga en cuenta que t es la variable de entrada en f (t) en lugar de x porque ya se ha tomado x – es la variable de entrada en Af (x). El subíndice f en Af indica que Af (x) es la función de área para la curva particular f o f (t). El dt es un pequeño incremento a lo largo del eje t – en realidad un incremento infinitesimalmente pequeño.

He aquí un ejemplo sencillo para asegurarse de que tiene una idea de cómo funciona una función de área. Por cierto, no te sientas mal si encuentras esto extremadamente difícil de entender – tienes mucha compañía. Supongamos que tienes la función simple, f (t) = 10, que es una línea horizontal a y = 10. Si se barre el área a partir de s = 3, se obtiene la siguiente función de área:

Puedes ver que el área barrida de 3 a 4 es 10 porque, al arrastrar la línea de 3 a 4, barres un rectángulo con un ancho de 1 y una altura de 10, que tiene un área de 1 por 10, o 10, como se muestra aquí.

f (t) = 10 entre 3 y x es barrida por la línea vertical en movimiento»/>Área bajo f (t) = 10 entre 3 y x es barrida por la línea vertical en movimiento en x.

Por lo tanto, Af(4), el área barrida al llegar a 4, es igual a 10. Af(5) es igual a 20 porque cuando arrastras la línea a 5, has barrido un rectángulo con un ancho de 2 y un alto de 10, que tiene un área de 2 veces 10, o 20. Af(6) es igual a 30, y así sucesivamente.

Ahora, imagina que arrastras la línea a una velocidad de una unidad por segundo. Comienzas en x = 3, y golpeas 4 en 1 segundo, 5 en 2 segundos, 6 en 3 segundos, y así sucesivamente. ¿Cuánta área estás barriendo por segundo? Diez unidades cuadradas por segundo porque cada segundo se barre otro rectángulo de 1×10. Note – esto es enorme – que debido a que el ancho de cada rectángulo que usted barre es 1, el área de cada rectángulo – la cual es dada por la altura por el ancho – es la misma que su altura porque cualquier cosa por 1 es igual a sí misma. Usted ve por qué esto es enorme en un minuto (Por cierto, la tasa real que le importa aquí no es el área barrida por segundo, sino, más bien, el área barrida por unidad de cambio en el eje x). Este ejemplo lo explica en términos de por segundo porque es más fácil pensar en una tasa de barrido de esta manera. Y como está arrastrando la línea a través de una unidad del eje x por segundo, ambas tasas son las mismas. Elige lo que quieras.)

La derivada de una función de área es igual a la tasa de área que se está eliminando. Bien, ¿estás sentada? Has llegado a otro de los grandes momentos Ah ha! de la historia de las matemáticas. Recuerde que un derivado es una tasa. Por lo tanto, dado que la velocidad a la que crece la función de área anterior es de 10 unidades cuadradas por segundo, se puede decir que su derivado es igual a 10. Por lo tanto, puede escribir

De nuevo, esto sólo le dice que con cada incremento de 1 unidad en x, Af (la función de área) sube 10. Ahora aquí está la cosa crítica: Note que esta tasa o derivada de 10 es la misma que la altura de la función original f (t) = 10 porque a medida que se atraviesa 1 unidad, se barre un rectángulo que es de 1 por 10, el cual tiene un área de 10, la altura de la función.

Y la tarifa es de 10, independientemente del ancho del rectángulo. Imagina que arrastras la línea vertical de x = 4 a x = 4.

001. A una velocidad de una unidad por segundo, eso te llevará 1/1000 de segundo, y barrerás un rectángulo delgado con un ancho de 1/1000, una altura de 10, y por lo tanto un área de 10 veces 1/1000, o 1/100 unidades cuadradas. La tasa de área que se barre sería, por lo tanto,

lo que equivale a 10 unidades cuadradas por segundo. Así que usted ve que con cada pequeño incremento a lo largo del eje x, la tasa de área que se barre es igual a la altura de la función.

Esto funciona para cualquier función, no sólo para las líneas horizontales. Observe la función g (t) y su función de área Ag (x) que barre el área comenzando en s = 2 en la siguiente figura.

g (t) entre 2 y x es barrida por la línea vertical en movimiento en el <"/>Área bajo g (t) entre 2 y x es barrida por la línea vertical en movimiento en x.

Entre x = 3,6 y x = 3,7, la Ag (x) crece por el área de ese «rectángulo» sombreado oscuro y delgado con un ancho de 0,1 y una altura de aproximadamente 15. (Como puede ver, no es realmente un rectángulo; está más cerca de un trapezoide, pero tampoco lo es porque su pequeña parte superior está ligeramente curvada. Pero, en el límite, a medida que el ancho se hace más y más pequeño, el delgado «rectángulo» se comporta precisamente como un verdadero rectángulo.) Así que, para repetir, Ag (x) crece por el área de ese «rectángulo» oscuro que tiene un área extremadamente cercana a 0.1 veces 15, o 1.5. Esa área es barrida en 0,1 segundos, por lo que la tasa de área que se barre es de

o 15 unidades cuadradas por segundo, la altura de la función. Esta idea es tan importante que merece ser repetida:

La tasa de área de barrido es igual a la altura. La tasa de área que se barre bajo una curva por una función de área en un valor de x dado es igual a la altura de la curva en ese valor de x.