Cómo Graficar una Hiperbola

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Piensa en una hipérbola como una mezcla de dos parábolas – cada una de ellas una perfecta imagen especular de la otra, cada una abriéndose una a la otra. Los vértices de estas parábolas están a una distancia determinada y se abren vertical u horizontalmente.

La definición matemática de una hipérbola es el conjunto de todos los puntos donde la diferencia en la distancia entre dos puntos fijos (llamados focos) es constante.

Hay dos tipos de hipérbolas: horizontales y verticales.

La ecuación para una hipérbola horizontal es

La ecuación para una hipérbola vertical es

Note que x e y cambian de lugar (así como la h y la v con ellos) para nombrar horizontal versus vertical, comparado con las elipses, pero a y b se quedan donde están. Por lo tanto, para las hipérbolas, a-cuadrado siempre debe ser lo primero, pero no es necesariamente mayor. Más exactamente, a siempre está al cuadrado bajo el término positivo (ya sea x-cuadrado o y-cuadrado). Básicamente, para obtener una hipérbola en forma estándar, es necesario asegurarse de que el término positivo al cuadrado es el primero.

El centro de una hipérbola no está realmente en la curva en sí, sino exactamente entre los dos vértices de la hipérbola. Siempre traza el centro primero, y luego cuenta desde el centro para encontrar los vértices, ejes y asíntotas. Una hipérbola tiene dos ejes de simetría. El que pasa por el centro y los dos focos se llama el eje transversal; el que es perpendicular al eje transversal a través del centro se llama el eje conjugado. Una hipérbola horizontal tiene su eje transversal en y = v y su eje conjugado en x = h; una vertical tiene su eje transversal en x = h y su eje conjugado en y = v.

Puedes ver los dos tipos de hipérbolas en la figura anterior: una horizontal a la izquierda y otra vertical a la derecha.

Si la hipérbola que está tratando de graficar no está en forma estándar, entonces necesita completar el cuadrado para obtenerla en forma estándar.

Por ejemplo, la ecuación

es una hipérbola vertical. El centro (h, v) es (-1, 3).

(lo que significa que cuenta horizontalmente 3 unidades desde el centro tanto a la izquierda como a la derecha). La distancia del centro al borde del rectángulo marcado «a» determina la mitad de la longitud del eje transversal, y la distancia al borde del rectángulo marcado «b» determina el eje conjugado. En una hipérbola, a podría ser mayor que, menor que, o igual a b. Si cuentas a unidades del centro a lo largo del eje transversal, y b unidades del centro en ambas direcciones a lo largo del eje conjugado, estos cuatro puntos serán los puntos medios de los lados de un rectángulo muy importante. Este rectángulo tiene lados que son paralelos a los ejes x e y (en otras palabras, no sólo conectan los cuatro puntos porque son los puntos medios de los lados, no las esquinas del rectángulo). Este rectángulo será una guía útil a la hora de graficar la hipérbola.

Pero como puede ver en la figura anterior, las hipérbolas contienen otras partes importantes que debe considerar. Por ejemplo, una hipérbola tiene dos vértices. Hay dos ecuaciones diferentes – una para las hipérbolas horizontales y otra para las verticales:

  • Una hipérbola horizontal tiene vértices en (h ± a, v).
  • Una hipérbola vertical tiene vértices en (h, v ± a).

Los vértices del ejemplo anterior son (-1, 3 ± 4), o (-1, 7) y (-1, -1).

Encuentras los focos de cualquier hipérbola usando la ecuación

donde F es la distancia desde el centro a los focos según el eje transversal, el mismo eje en el que se encuentran los vértices. La distancia F se mueve en la misma dirección que a. Continúe con este ejemplo,

Para nombrar los focos como puntos en una hipérbola horizontal, se utiliza (h ± F, v); para nombrarlos en una hipérbola vertical, se utiliza (h, v ± F). Los enfoques en el ejemplo serían (-1, 3 ± 5), o (-1, 8) y (-1, -2). Tenga en cuenta que esto los coloca dentro de la hipérbola.

Por el centro de la hipérbola corren los asíntotas de la hipérbola. Estas asíntotas ayudan a guiar su bosquejo de las curvas porque las curvas no pueden cruzarlas en ningún punto del gráfico.

Para graficar una hipérbola, siga estos sencillos pasos:

  1. Marque el centro. pegado con la hipérbola de ejemplo Usted encuentra que el centro de esta hipérbola es (-1, 3). Recuerda cambiar los signos de los números dentro del paréntesis, y también recuerda que h está dentro del paréntesis con x, y v está dentro del paréntesis con y. Para este ejemplo, la cantidad con y-cuadrado viene primero, pero eso no significa que h y v cambian de lugar. Las h y v siempre permanecen fieles a sus respectivas variables, x e y.
  2. Desde el centro en el Paso 1, encuentra los ejes transversal y conjugado, sube y baja el eje transversal a una distancia de 4 (porque 4 está por debajo de y), y luego ve a la derecha y a la izquierda 3 (porque 3 está por debajo de x). Pero no conecte los puntos para obtener una elipse! Hasta ahora, los pasos para dibujar una hipérbola eran exactamente los mismos que cuando se dibujaba una elipse, pero aquí es donde las cosas se vuelven diferentes. Los puntos que marcó como a (en el eje transversal) son sus vértices.
  3. Utiliza estos puntos para dibujar un rectángulo que te ayudará a guiar la forma de tu hipérbola, ya que subiste y bajaste 4, la altura de tu rectángulo es 8; yendo a la izquierda y a la derecha 3 te da un ancho de 6.
  4. Dibuja líneas diagonales a través del centro y las esquinas del rectángulo que se extienden más allá del rectángulo, lo que te da dos líneas que serán tus asíntotas.
  5. Dibujar las curvas, comenzando en cada vértice por separado, que abrazan los asíntotas cuanto más lejos de los vértices de la curva se encuentra, el gráfico se acerca a los asíntotas pero nunca los toca. La figura de arriba muestra la hipérbola terminada.

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