Cómo Graficar una Función Racional con el Denominador con el Grado Superior

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Por Yang Kuang, Elleyne Kase

Después de calcular todas las asíntotas y las intersecciones x e y para una función racional, tienes toda la información que necesitas para empezar a graficar la función. En cualquier función racional donde el denominador tiene un grado mayor, a medida que los valores de x se hacen infinitamente grandes, la fracción se hace infinitamente más pequeña hasta que se acerca a cero (este proceso se denomina límite).

Las funciones racionales son en realidad sólo fracciones. Si miras varias fracciones donde el numerador se mantiene igual pero el denominador se hace más grande, la fracción entera se hace más pequeña. Por ejemplo, mire a 1/2, 1/20, 1/200 y 1/2,000.

Cuando el denominador tiene el mayor grado, se comienza por graficar la información que se conoce para f(x):

La figura muestra todas las partes del gráfico:

  1. Dibuje la(s) asíntota(s) vertical(es). Siempre que grafique asíntotas, asegúrese de usar líneas punteadas, no líneas sólidas, porque las asíntotas no son parte de la función racional.f(x) con asíntotas e intercepciones rellenadas.»/>El gráfico de f(x) con asíntotas e intercepciones rellenadas.f(x), encontrará que las asíntotas verticales son x = -7 y x = 3, por lo tanto, dibuje dos líneas verticales punteadas, una en x = -7
  2. Dibuje la(s) asíntota(s) horizontal(es). continuando con el ejemplo, la asíntota horizontal es y = 0 – o el eje x.
  3. Traza la(s) intersección(es) x y la(s) intersección(es) y es y = 1/21, y la intersección x es x = 1/3.

Ahora rellene los espacios en blanco trazando las salidas de los valores de prueba. Las asíntotas verticales dividen el gráfico y el dominio de f(x) en tres intervalos:

Para cada uno de estos tres intervalos, debe seleccionar al menos un valor de prueba y conectarlo a la función racional original; esta prueba determina si el gráfico de ese intervalo está por encima o por debajo de la asíntota horizontal (el eje x). Siga estos pasos:

  1. En este ejemplo, el primer intervalo es para que pueda elegir el número que desee siempre y cuando sea inferior a -7. Por ejemplo, si selecciona x = -8, evaluará Este valor negativo le indica que la función está por debajo de la asíntota horizontal sólo en el primer intervalo.
  2. Si miras el segundo intervalo (-7, 3) en la figura, te darás cuenta de que ya tienes dos puntos de prueba en él. La intersección y tiene un valor positivo, que indica que el gráfico está por encima de la asíntota horizontal para esa parte del gráfico: Es lógico que un gráfico nunca cruce una asíntota, sino que se acerque cada vez más a ella. En este caso, hay una intersección x, lo que significa que el gráfico cruza su propia asíntota horizontal. Las asíntotas verticales son las únicas asíntotas que nunca se cruzan. Una asíntota horizontal realmente le dice qué valor se está acercando el gráfico para valores positivos o negativos infinitamente grandes de x.
  3. Para el tercer intervalo, supongamos que utiliza el valor de prueba de 4 (puede utilizar cualquier número mayor que 3) para determinar la ubicación del gráfico en el intervalo. Obtienes f(4) = 1, lo que te indica que la gráfica está por encima de la asíntota horizontal para este último intervalo.

Conociendo un valor de prueba en cada intervalo, puede trazar el gráfico comenzando en un punto de valor de prueba y moviéndose desde allí hacia los asíntotas horizontal y vertical. Esta figura muestra el gráfico completo de f(x).

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