Cómo Graficar Polinomios Cuando las Raíces Son Números Imaginarios – Una Visión General

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Por Yang Kuang, Elleyne Kase

En el pre-cálculo y en el cálculo, ciertas funciones polinómicas tienen raíces no reales además de raíces reales (y algunas de las funciones más complicadas tienen todas las raíces imaginarias). Cuando tengas que encontrar ambas cosas, empieza por encontrar las raíces reales, usando técnicas como la división sintética. Si tienes suerte, te quedas con un polinomio cuadrático deprimido para resolverlo que es irresoluble usando números reales de respuestas. No temas! Sólo tienes que usar la fórmula cuadrática, a través de la cual terminarás con un número negativo bajo el signo de la raíz cuadrada. Por lo tanto, usted expresa la respuesta como un número complejo.

Por ejemplo, el polinomio g(x) = x4 + x3 – 3×2 + 7x – 6 tiene raíces no reales. Siga estos pasos básicos para encontrar todas las raíces de este (o cualquier) polinomio:

  1. Clasifique las raíces reales como positivas y negativas utilizando la regla de los signos de Descartes: tres cambios de signo en la función g(x) revelan que usted podría tener tres o una raíz real positiva. Un cambio de signo en la función g(-x) revela que tienes una raíz real negativa.
  2. Descubre cuántas raíces son posiblemente imaginarias usando el teorema fundamental del álgebra, el cual revela que, en este caso, existen hasta cuatro raíces imaginarias. Combinando este hecho con la regla de los signos de Descartes se obtienen varias posibilidades: una raíz positiva real y una raíz negativa real significa que dos raíces no son reales. tres raíces positivas reales y una raíz negativa real significa que todas las raíces son reales.
  3. Enumerar las posibles raíces racionales, utilizando el teorema de la raíz racional.
  4. Determine las raíces racionales (si las hay), usando la división sintética. utilizando las reglas de la división sintética, usted encuentra que x = 1 es una raíz y que x = -3 es otra raíz. Estas raíces son las únicas reales.
  5. Una vez encontradas todas las raíces reales del polinomio, dividir el polinomio original por x-1 y el polinomio resultante por x+3 para obtener el polinomio deprimido x2 – x + 2. Debido a que esta expresión es cuadrática, puedes usar la fórmula cuadrática para resolver las dos últimas raíces. En este caso, se obtiene
  6. Grafica los resultados. g(x) = x4 + x3 – 3<«/>Graficando el polinomio g(x) = x4 + x3 – 3×2 + 7x – 6. La prueba del coeficiente principal revela que la gráfica apunta en ambas direcciones. Los intervalos incluyen lo siguiente: La figura anterior muestra el gráfico de esta función.

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